Wychował się w Karczewie, położonym kilkadziesiąt kilometrów od Warszawy. Do szkoły średniej chodził już jednak w Warszawie. Trafił do Technikum Mechatronicznego, mieszczącego się przy ulicy Śniadeckich, w niedalekim sąsiedztwie stadionu Legii. Lekcje wychowanie fizycznego klasa, do której uczęszczał Antoni Trzaskowski, odbywała na obiekcie Agrykoli. Zdarzało się, że karczewiak już nie wracał na pozostałe lekcje. Wolał oglądać treningi swoich idoli, którzy występowali z „eLką” na piersi. Nie mógł się spodziewać, że już niebawem do nich dołączy…

Będąc zawodnikiem drużyn juniorskich Mazura Karczew, Trzaskowski regularnie reprezentował kadrę województwa warszawskiego. Jego potencjał dostrzegł trener grup młodzieżowych Legii Walerian Kisieliński. Wkrótce zaprosił go na Łazienkowską, do treningów z drużyną rezerw. Tak zaczęła się piękna przygoda, która potrwała kilkanaście lat.

W Legii, złożonej w latach 60. ubiegłego stulecia głównie z zawodników wychowanych w Warszawie i najbliższych okolicach, Trzaskowski zabezpieczał lewą stronę obrony. Był absolutnie niezastąpiony. W latach 1966-1969 zagrał w ponad 150 kolejnych meczach z rzędu, nie opuszczając też ani jednych zajęć treningowych! Z Legią dwa razy sięgnął po mistrzostwo Polski, a także dotarł do półfinału Pucharu Mistrzów, protoplasty obecnej Ligi Mistrzów. Warszawski klub wyeliminował wcześniej rumuński UT Arad, francuskie AS Saint-Etienne oraz turecki Galatasaray SK. Dopiero krok przed finałem marsz legionistów zatrzymał Feyenoord Rotterdam.

A niewiele brakowało, by kariera Trzaskowskiego w Legii zakończyła się dużo wcześniej. Podczas jednego z ligowych meczów doznał bowiem poważnego złamania nogi. Trener Longin Janeczek chciał odstawić charakternego karczewiaka od zespołu, jednak gdy sam stracił pracę, a jego miejsce zajął Czech Jaroslav Vejvoda, sytuacja się zmieniła. Nowy szkoleniowiec nie zamierzał rezygnować z Trzaskowskiego. Zabrał swojego obrońcę na obóz, na którym klubowy lekarz postawił go na nogi.

Dzięki temu Vejvoda nie musiał martwić się o obsadę lewej strony boiska. W obronie brylował Trzaskowski, w linii pomocy szalał Bernard Blaut, a w ataku niedościgniony pozostawał Robert Gadocha. Z tego tria skorzystał też „Trener Tysiąclecia”, Kazimierz Górski, gdy zdecydował się powołać Trzaskowskiego na zgrupowanie reprezentacji narodowej.

Piłkarz Legii dostąpił tego zaszczytu w 1971 roku. Przed meczem towarzyskim ze Szwajcarią wysłał powołanie dla kilku etatowych reprezentantów, którzy na co dzień występowali przy Łazienkowskiej. Oprócz wspomnianych Blauta i Gadochy, a także Lesława Ćmikiewicza, Kazimierza Deyny i Władysława Grotyńskiego, wezwanie na zgrupowanie otrzymał także Antoni Trzaskowski. Dzięki temu Kazimierz Górski nie musiał martwić się o to, czy zawodnicy występujący na lewej stronie boiska będą się ze sobą rozumieli. A mogli grać ze sobą w ciemno…

I to przyniosło skutek także w meczu ze Szwajcarami, rozgrywanym 5 maja 1971 roku w Lozannie. Choć biało-czerwoni byli tego dnia biało-niebieskimi (wystąpili bowiem w niebieskich spodenkach), i choć to Szwajcarzy objęli prowadzenie po golu Friedricha Kuenzliego, Polacy dali popis skuteczności. Jeszcze przed przerwą wyrównał Zygfryd Szołtysik, a po zmianie strony trzy ciosy wyprowadzili Jan Banaś, Kazimierz Deyna oraz Włodzimierz Lubański. Trzaskowskiego już jednak na placu gry nie było. W przerwie zmienił go bowiem Zygmunt Anczok. Czas pokazał, że było to jedyne 45 minut piłkarza Legii w reprezentacji narodowej.

Przy Łazienkowskiej Antoni Trzaskowski występował do 1973 roku. Jego łączny bilans wyniósł 218 meczów i trzy zdobyte bramki. Po odejściu z Legii wyjechał do USA, gdzie grał dla kilku polonijnych klubów. Jeszcze mając 49 lat, występował w barwach Polonii Greenpoint. Obecnie znów mieszka w Polsce, w rodzinnym Karczewie, nieopodal innego legionisty, Feliksa Niedziółki.